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* Teoria ingenua degli insiemi

Corrispondenze e funzioni. Relazioni su un insieme. Definizione delle principali strutture algebriche.

* Spazi vettoriali

Definizione di spazio vettoriale. Lineare dipendenza e indipendenza. Generatori. Spazi vettoriali finitamente generati: Lemma di Steinitz, basi e dimensione di uno spazio vettoriale. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Intersezione, somma e somma diretta di sottospazi. Formula di Grassmann.

* Matrici e sistemi lineari

Spazio vettoriale delle matrici. Prodotto righe per colonne. Rango e determinante. Sistemi lineari e loro risolubilità: teorema di Rouché Capelli e di Cramer. Autovalori e autovettori di una matrice. Diagonalizzabilità e criteri di diagonalizzabilità.

* Prodotti scalari e forme quadratiche

Matrici reali e simmetriche. Basi ortogonali e ortonormali. Processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Matrici ortogonali. Matrici ortogonalmente diagonalizzabili.

* Spazi affini ed euclidei

Spazi affini: definizione, traslazioni, sottospazi, parallelismo. Coordinatizzazione di uno spazio affine e geometria analitica nel piano e nello spazio tridimensionale. Spazi euclidei: distanze, ortogonalità, circonferenze, sfere, superfici di rotazione e luoghi geometrici fondamentali.

* Spazi proiettivi

Ampliamento proiettivo di una geometria affine: sottospazi proiettivi, coordinate omogenee e rappresentazione in coordinate omogenee dei sottospazi. Complessificazione.

* Curve e superfici algebriche reali

Ordine di una curva, punti semplici e singolari. Coniche, classificazione proiettiva, polarità, classificazione affine e metrica, forme canoniche, fasci di coniche. Quadriche: classificazione affine, coni e cilindri, studio di sezioni piane, equazioni canoniche.