Nozioni di base.
Elementi di logica: proposizioni, predicati, connettivi logici, quantificatori, tecniche dimostrative.
I numeri reali
Ordinamento dei numeri reali e completezza. Modulo di un numero reale, disuguaglianza triangolare. Intervalli. Insiemi limitati. Massimo e minimo di un sottoinsieme dei numeri reali. Estremi inferiore e superiore.
I numeri complessi.
Definizioni. Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale e loro proprietà. Il piano di Gauss. La formula di Eulero. Radici n-esime. Risoluzione di equazioni algebriche in campo complesso.
Funzioni di una variabile reale.
Concetto di funzione reale a variabile reale. Immagine e controimmagine. Dominio, codominio, insieme immagine. Grafico di una funzione. Funzioni matematiche elementari. Funzioni simmetriche, monotone, periodiche. Composizione di funzioni e funzione inversa. Funzioni limitate, massimo, minimo, estremo superiore e inferiore di una funzione.
Successioni numeriche.
Definizioni. Successioni monotone. Successioni limitate, sottosuccessioni.
Limiti di successioni e funzioni.
Limiti di successioni. Limiti di funzioni. Limiti destro e sinistro. Algebra dei limiti. Limiti di funzioni monotone. Teoremi di unicità, di permanenza del segno, del confronto, dei due carabinieri. Forme indeterminate e confronti asintotici. Limiti notevoli. Asintoti di funzione.
Continuità.
Definizione di funzione continua. Somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni continue. Analisi dei punti di discontinuità. Teorema di sostituzione. Teorema di Weierstrass. Proprietà delle funzioni continue.
Calcolo differenziale.
Definizione di derivata. Legame con la continuità. Derivata di funzioni elementari. Derivata destra e sinistra. Punti di non derivabilità. Teoremi sul calcolo delle derivate. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange. Punti stazionari: classificazione. Massimi e minimi relativi. Legame tra monotonia e segno della derivata prima. Concavità e convessità e legame col segno della derivata seconda. Studio di funzione. Teorema di de l'Hopital.
Sviluppi di Taylor.
Derivate di ordine superiore. Approssimazione di funzioni mediante polinomi. La formula di Taylor con il resto di Peano e Lagrange.
Serie numeriche.
Definizioni; serie a termini positivi e relativi criteri di convergenza; convergenza semplice ed assoluta; serie a termini di segno alterno, criterio di Leibniz.
Integrali impropri.
Definizione e criteri di convergenza.
Equazioni differenziali.
Definizioni. Risoluzione di equazioni a variabili separabili, equazioni differenziali lineari del primo ordine, equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.