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Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale.
Nozioni di base.
Elementi di logica: proposizioni, predicati, connettivi logici, quantificatori, tecniche dimostrative.
I numeri reali: Ordinamento dei numeri reali e completezza. Modulo di un numero reale, disuguaglianza triangolare. Intervalli. Insiemi limitati. Massimo e minimo di un sottoinsieme dei numeri reali. Estremi inferiore e superiore.
I numeri complessi: Definizioni. Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale e loro proprietà. Il piano di Gauss. La formula di Eulero. Radici n-esime. Risoluzione di equazioni algebriche in campo complesso.
Funzioni di una variabile reale: Concetto di funzione reale a variabile reale. Immagine e controimmagine. Dominio, codominio, insieme immagine. Grafico di una funzione. Funzioni matematiche elementari. Funzioni simmetriche, monotone, periodiche. Composizione di funzioni e funzione inversa. Funzioni limitate, massimo, minimo, estremo superiore e inferiore di una funzione.
Successioni numeriche: Definizioni. Successioni monotone. Successioni limitate, sottosuccessioni.
Limiti di successioni e funzioni: Limiti destro e sinistro. Algebra dei limiti. Limiti di funzioni monotone. Teoremi di unicità, di permanenza del segno, del confronto, dei due carabinieri. Forme indeterminate e confronti asintotici. Limiti notevoli. Asintoti di funzione.
Continuità: Definizione di funzione continua. Somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni continue. Analisi dei punti di discontinuità. Teorema di sostituzione. Teorema di Weierstrass. Proprietà delle funzioni continue.
Calcolo differenziale: Definizione di derivata. Legame con la continuità. Derivata di funzioni elementari. Derivata destra e sinistra. Punti di non derivabilità. Teoremi sul calcolo delle derivate. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange. Punti stazionari: classificazione. Massimi e minimi relativi. Legame tra monotonia e segno della derivata prima. Concavità e convessità e legame col segno della derivata seconda. Studio di funzione. Teorema di de l'Hopital.
Sviluppi di Taylor: Derivate di ordine superiore. Approssimazione di funzioni mediante polinomi. La formula di Taylor con il resto di Peano e Lagrange.
Serie numeriche: Definizioni; serie a termini positivi e relativi criteri di convergenza; convergenza semplice ed assoluta; serie a termini di segno alterno, criterio di Leibniz. Integrali di Riemann.
Integrali impropri: Definizione e criteri di convergenza.
Equazioni differenziali: Definizioni. Risoluzione di equazioni a variabili separabili, equazioni differenziali lineari del primo ordine, equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.