Il Calcolo Scientifico è al giorno d'oggi uno strumento molto importante per simulare il comportamento di dispositivi prima della costruzione di un prototipo e per ottimizzare le prestazioni di tali dispositivi. L'obiettivo del corso è quello di introdurre i metodi di base del calcolo scientifico a partire dalla soluzione dei sistemi lineari e non lineari, fino alla soluzione di sistemi di equazioni differenziali ordinarie e a qualche cenno sulla risoluzione di problemi complessi formulati matematicamente con equazioni alle derivate parziali. L'analisi dei metodi numerici presentati verrà discussa in modo da dare agli studenti degli strumenti di valutazione dei risultati numerici ottenuti in seguito all'applicazione di tali metodi a problemi pratici. Parte non secondaria saranno le esercitazioni che si svolgeranno in laboratorio durante le quali si svilupperanno programmi nell'ambiente MATLAB® per risolvere i problemi affrontati.
Elementi di programmazione in Matlab e rappresentazione dei numeri reali
Equazioni e sistemi non lineari
Interpolazione e approssimazione di funzioni.
Integrazione e derivazione numerica.
Equazioni differenziali ordinarie.
Sistemi lineari.
Autovalori e autovettori
Elementi di programmazione in Matlab e rappresentazione dei numeri reali
* Assegnazione di variabili scalari e vettoriali.
* Operazioni aritmetiche ed operazioni con matrici e vettori.
* Uso di funzioni ed elementi di grafica.
* Istruzioni condizionali e cicli.
* Programmazione in Matlab.
* Rappresentazione dei numeri reali mediante un computer. Standard IEEE.
* Arrotondamento di un numero.
* Propagazione degli errori nelle operazioni aritmetiche.
Equazioni e sistemi non lineari
* Metodi di bisezione, delle secanti e di Newton.
* Risultati di convergenza.
* Risoluzione di sistemi non lineari. Estensione del metodo Newton-Raphson.
Interpolazione e approssimazione di funzioni.
* Interpolazione polinomiale. Polinomi di Lagrange.
* Stima dell'errore di approssimazione.
* Interpolazione con polinomi a tratti.
* Interpolazione trigonometrica e FFT.
* Approssimazioni di dati nel senso dei minimi quadrati lineari.
Integrazione e derivazione numerica.
* Integrazione numerica: formula del punto medio, dei trapezi e di Simpson.
* Formule di quadratura interpolatorie.
* La formula di Simpson adattiva.
* Approssimazione delle derivate.
Equazioni differenziali ordinarie.
* Esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati per la soluzione di un problema di Cauchy.
* Metodo di Eulero esplicito ed analisi della convergenza.
* Consistenza, 0-stabilità e convergenza.
* Regione di stabilità assoluta e sua influenza sulle perturbazioni.
* Risoluzione di sistemi di equazioni differenziali del primo ordine e di equazioni differenziali di ordine superiore.
* Risoluzione di equazioni differenziali con valori ai limiti.
Sistemi lineari.
* Metodo di eliminazione di Gauss e fattorizzazione LU di una matrice.
* Analisi degli errori.
* Metodi iterativi. Definizioni e convergenza. Metodi di Jacobi, di Gauss-Seidel.
* Metodi di Richardson stazionari e non stazionari.
Autovalori e autovettori.
* Definizioni. Proprietà di autovalori ed autovettori.
* Autovalori ed autovettori di matrici simmetriche e definite positive.
* Metodo delle potenze e delle potenze inverse.
* Quoziente di Rayleigh.
* Metodo di trasformazione QR.
Alfio Quarteroni, Fausto Saleri, Paola Gervasio, Calcolo Scientifico,
Springer-Verlag Italia, 2012 e precedenti edizioni
Lezioni frontali, esercitazioni in Laboratorio informatico con uso di Matlab
L'esame consta di una prova orale alla fine del corso e di test in Laboratorio volti allo sviluppo di semplici programmi. Le prove di laboratorio si possono svolgere durante le esercitazioni oppure alla fine del corso. Se l'esito della prova di laboratorio è positivo sarà tenuto valido per tutte le sessioni d'esame. Saranno predisposte prove pratiche in laboratorio durante tutte le sessioni d'esame.