Portale di Ateneo - Unibs.it Portale di Ateneo - Unibs.it

Lezione introduttiva
Obiettivi / Programma del corso / Metodologia di valutazione

Spazi vettoriali. Prodotto interno su uno spazio vettoriale. Norma e misura di distanza su uno spazio vettoriale. Ortogonalità. Convergenza di una successione in uno spazio vettoriale. Chiusura di uno spazio vettoriale. Chiusura della copertura di un insieme di vettori.

Spazi vettoriali euclidei (proiezioni normalizzate, costruzione di basi bi-ortogonali, costruzione di frame)

Completezza di uno spazio vettoriale. Spazio vettoriale di Hilbert. Separabilità di uno spazio di Hilbert. Complemento ortogonale di uno spazio di Hilbert; somma diretta di spazi vettoriali. Definizione di operatore lineare. Norma di un operatore. Operatore lineare limitato. Kernel e Immagine di un operatore lineare.

Operatore inverso. Esempi di calcolo di norme di un operatore, di calcolo dell'inverso. Operatore aggiunto. Esempio di calcolo dell'operatore aggiunto. Operatore auto-aggiunto.Esistenza e unicità di un opeartore aggiunto. Operatore unitario. Autovalore / Autovettore di un operatore. Operatore (semi-)definito positivo.

Approssimazioni, proiezioni, scomposizioni - Teorema della proiezione; operatori di proiezione; somme dirette e sotto-spazi di scomposizione; stima ai minimi quadrati.

Spazi di Hilbert: Definizione principale, disuguaglianza di Bessel. Teorema di equivalenza, approssimazione ai minimi quadrati, definizione di basi bi-ortogonali (basi di Riesz). Frames, frames stretti.

Richiami e complementi di algebra lineare: Matrici, Matrici elementari (I, J, Ts, Ti, diag., simmetriche); Operazioni sulle matrici (somma, prodotto, prodotto di Kronecker, trasposizione, trasposizione hermitiana) e loro proprietà; definizioni varie e proprietà associate: determinante, rango; Inversione di una matrice, Sistemi di equazioni lineari (soluzioni esatte, approssimate, null space,dinamica); Diagonalizzazione di una matrice. Famiglie di matrici (simmetriche, circolanti destra e sinistra, Toeplitz, definite positive, radice di una matrice definita positiva, rango di una matric parametrica, matrici polinomiali, unimodulari, paraunitarie)

Rappresentazione tempo-frequenza di funzioni "prototipo"; Estensione spettrale/temporale di una funzione madre. Principio di incertezza di Heisenberg. Ottima localizzazione T.F. STFT. T. Gabor. Spettrogramma associato ad una STFT. Esempio di localizzazione T-F della STFT. Rappresentazione tempo-frequenza di una WT. Concetto di scala/risoluzione (analogico/numerico).

CWT: definizione, inversione, proprietà (linearità, Inv. Trasl., cambio scala). Scalogrammi.

CWT: proprietà (Conservazione dell'energia e del prodotto scalare, Kernel di riproduzione); cono di influenza per un segnale a supporto temporale finito / regione di influenza per un segnale a supporto spettrale finito.

Wavelet di Morlet / altri esempi.

Sovra-campionamento come frame stretto per riduzione errore quantizzazione

Campionamento tempo-scala della CWT. Condizione di ricostruzione. Caso di scalatura diadica.

Espansione wavelet discreta di segnali continui - Wavelet di Haar: ortonormalità delle funzioni di base ed espansione di Haar / Completezza dell'espansione di Haar per segnali in L2(R).

Banco di filtri a 2 canali per segnali discreti - DWT.

Scomposizione multi-risoluzione. Convergenza dell'iterazione di un banco di filtri a 2 canali verso la funzione madre WT.

DWT ortonormali. DWT biortogonali e legami con rappresentazione in serie wavelet di segnali continui.